六六字典>历史百科>四库百科>杨辉算法

杨辉算法

宋杨辉(详见《详解九章算术》)撰。《杨辉算法》为杨辉后期三部算书的总称,其包括《乘除通变本末》三卷(1274),《田亩比类乘除捷法》二卷(1275),《续古摘奇算法》二卷(1275)。对这三部书的编著杨辉说:“学者粗知加减归倍之法,而不知变通之问,遂易代乘代除之术,增续新条,目之曰《乘除通变本末》。及见中山刘先生益撰《议古根源》,演段锁积,有超古入神之妙,其可不为发扬,以俾后学,遂集为《田亩简法》。通前共刊四集,自谓斯愿满矣。一日忽有刘碧涧、丘虚谷携诸家算法奇题及旧刊遗忘之文,求成为集,愿助工板刊行。遂添摭诸家奇题与夫缮本及可以续古法草总为一集,目之曰《续古摘奇算法》”。《乘除通变本末》三卷各有名称:上卷《算法通变本末》专讲乘除;中卷《乘除通变算宝》论加减、求一、九归诸术;下卷《法算取用本末》乃中卷的注释。在《算法通变本末》卷首列“习算纲目”,为我国迄今所见的最早的数学教学计划。在此杨辉主张数学教育要“须责实有”,密切联系实际;在教学方法上应循序渐进,他具体规定了学习内容与日程,认为先学会运算,再钻研算理,他说:“依法求日下两三问,且未要穷理,但要知如何发问,作如何用法,答题如何用乘除。”在学习方法上要精思熟虑,融会贯通,抓住重点。他说:“治分乃用算之喉襟也,如不学则不足以知算。”“须讨论用法之源,庶久而无忘矣。”在学习过程中他强调计算能力的培养:“夫学算者题从法取,法将题验,凡欲明一法,必设一题。”“习算纲目”至今对数学教育仍有一定的意义。《算法通变本末》中杨辉还提到几个级数求和问题,有三角垛两问,四隅垛一问,其公式与《详解九章算法》卷六之公式相同。在《乘除通变算宝》中杨辉系统叙述了唐宋相传的“加法”、“减法”与求一代乘除说。他给出了加法代乘的“加法五术”、“加一位”,乘数十位是1的用之;而乘数百位、十位都是1的用“加二位”;乘数可分为两个十位为1的因数可用“重加”;若乘数百位为1、十位为0者用“隔位加”;乘数十位为2或百位为2的用“连身加”。还有“减法四术”,即减法代除:减一位,减二位,重减,隔位减。若乘除首位不是1时,可加倍或折半,使首位变成1后再行计算,这就是“求一乘”,“求一除”,其歌诀为:“五六七八九,倍之数不走,二三须当半,遇四两折扭。倍折本从法,实即反其有,用加以代乘,斯数足可守。”对于不同位数的乘数、被乘数,杨辉总结出不同的计算方法共六种:单因、重因、身前因、相乘、重乘、损乘,这些捷法的要点在于化多位数相乘为一位数连乘,化乘法为加减法,籍以提高计算效率。对于除法简便运算,杨辉叙述了“九归捷法”,在当时流行的四句“古括”的基础上,他添注三十二句新口诀,将九归歌诀精简为三类。在此基础上逐步发展成为珠算中的归除法。《田亩比类乘除捷法》上卷为《详解九章算法》方田章的继续,但所据各田的比类并无重复,不为《九章》框框所限,举例更加切合实际;下卷主要是对《五曹算经》的批评,认为该书中有些题目法草公式不合,题问概念不清,“方五斜七”施诸田亩有失精确等,首开对前辈算家的批判之风,后明代王文素、程大位等算家亦行效仿。在《田亩比类乘除捷法》中杨辉还引用刘益《议古根源》中的不少问题,计有直田十问,方田圆田一问,重修议古截田八问,钱田三问;同时还引用他所掌握的台州、黄岩围量田之实例,保存了宋代的数学史料。《续古摘奇算法》卷上论纵横图,古法有“九宫”,唐后称“洛书”,杨辉始创“纵横图”,即幻方。卷上作纵横图十三幅,其中有:洛书数,花十六图,花十六阴图,五五图,五五阴图,六六图,六六阴图,衍数图,衍数阴图,易数图,易数阴图,九九图,百子图。此外还录有聚五图,聚六图,联八图,攒九图,八阵图,连环图,为纵横图衍化发展而得。杨辉还略述了某些纵横图的构造方法,如洛书造法,四四阴图的易换术等,发现并概括了纵横图的构成规律,是幻方史研究的珍贵资料。该书卷下说《海岛》,有一定价值。《续古摘奇算法》乃杨辉编辑成书,非精心自著,故内容芜杂。体例不一,卷上将六十甲子纳音的计算作为数学而收入,显得不伦不类,《杨辉算法》对后世颇有影响,并流传到日本、朝鲜。其价值在于总结发展了唐宋间的各类捷算法,提供了数学教育的史料,保存了一批宋朝数学史料。《杨辉算法》版本有明洪武十一年(1378)古杭勤德书堂刊本,现存北京图书馆的是朝鲜李朝世宗十五年(1433)的复刻洪武本;1842年《宜稼堂丛书》本;1936-1939年商务印书馆《丛书集成初编》本。

猜你喜欢

  • 淡庵文集

    六卷。宋胡铨(1102-1180)撰。胡铨,字邦衡,庐陵(今江西吉安)人。建炎二年(1128)进士甲科,官资政殿学士。铨立朝刚毅,官枢密院编修、中书舍人,屡上疏,乞斩议和派大臣,文章千载后读之,仍有生

  • 丽则遗音

    四卷。元杨维桢(1296-1370)撰。维桢生平事迹见《东维子集》条。维桢《东维子集》不载其所作古赋,《铁罗古乐府》中古赋只有《土圭》、《莲花漏》、《记里古车》三作。此集为古赋专集。收赋三十二首,皆其

  • 四书拾义

    五卷。清胡绍勋撰。胡绍勋字文甫,安徽绩溪(今安徽绩溪)人。拔贡举孝廉方正。是书大都即训诂声音,以析古今异义。前人所已言者不多述,前人所未言与言之未尽者,则为引伸而补正。间有独抒心得绝无好为攻击驳难之习

  • 陈文冈集

    二十卷。明陈棐(约1550年前后在世)撰。陈棐,字文冈,鄢陵(今河南许昌市东)人。生卒年不详。嘉靖十四年(1535)进士,官至甘肃巡抚。是集凡二十卷。诗文多为率笔而就,奏疏也多迂论。故不以诗文名。是集

  • 涧于文集

    二卷。清张佩纶(1848-1903)撰。张佩纶,直隶丰润(今河北)人,同治进士,以编修大考擢侍讲,累迁辽副都御史,后以会办福建海疆事,兵败落职,曾参与庚子议和,赏四品京堂,称疾不出。佩纶论文称“近世古

  • 孝经质疑

    一卷。徐绍桢(1861-1936)撰。徐绍桢字固卿,原籍浙江,迁居广东番禺。官至南京卫戍司令。一生从戎,好藏书,父徐灏治经学尤精《说文》。是书系徐绍桢取孝经一十八章,依唐注,参照诸家,掺合己见,别为注

  • 抡山集选

    一卷。清王士禧(生卒年不详)撰。王士禧字礼吉,新城(山东桓台)人。自幼与其兄王士禄、弟王士祯、王士祐以诗相互唱和。兄弟之中其他三人都是进士,独士禧以岁贡终生。著有《抡山集选》。是集乃士禧死后四年,由王

  • 通鉴外纪

    十卷。目录五卷。宋刘恕(1032-1078)撰。怒字道原,筠州高安(今属江西)人。皇祐进士,官至著作郎。治平年间参与编修《资治通鉴》。著有《十国纪年》、《通鉴外纪》、《疑年谱》、《年略谱》。因司马光修

  • 岭南五朝诗选

    三十五卷。清黄登(生卒年不详)编。黄登字俊升,号积庵,番禺(今属广东)人,此集为历代地方诗歌总集,选录唐以下五个朝代与广东有关的诗歌,分为二编。第一编收外地寓贤于广东所作的诗歌,二十卷;第二编收广东本

  • 春秋左传事类年表

    一卷。清顾宗玮撰。宗玮字廷敬,江苏吴江人。此书每面(两面为一页)一表,集一年之史事。表横向分为十格,分列周、鲁、列国、灾异、郊祀、朝聘、会盟、征伐、城筑、土田等目,每格各以《春秋》经文依类汇录其中,见